枪手博弈
枪手博弈是指，枪手甲乙丙三人相互怨恨，以决斗的形式进行一场博弈。
其中，甲的枪法最准，十发八中（命中率80%）。乙的枪法在甲之下，屈居第二，也能有十发六中的成绩（命中率60%）。丙的枪法最差，只能十发四中（命中率40%）。假设在三人都了解彼此实力并能理性判断的情况下，会出现以下两种情况：一，三人同时开枪，谁活下来的可能最大？
二，若由丙开第一枪，随后轮流开枪，他会如何选择？
第一种情况：
第一轮：
甲：最佳的策略是先对准乙，因为乙的枪法比丙好。
乙：最佳的策略是先对准甲，因为三人中甲的枪法最准，这样，在乙丙两人中，乙活下来的概率更大。
丙：同样也会先解决枪法最准的甲，干掉甲后再考虑如何应对乙。
现在我们可以分别计算三人活下来的概率。
甲活：即乙和丙都未命中。乙的命中率为60%，那么未命中概率就为40%，丙的未命中率为60%。因此两人都射偏的概率为：40%×60%，所以甲活下来的概率为24%。
乙活：即甲射偏。甲有20%的未命中率，就相当于乙的存活率为20%。
丙活：根据上面的分析，在这一种情况下，没有任何人对准丙，因此丙最有可能活下来，他的存活概率为100%。
由此我们可以看到，在这一轮的决斗中，丙枪法最差但活下来的概率却最大。而甲和乙的枪法都远大于丙，存活率却都比丙低。当然，导致这种结果的前提条件是三人都了解彼此的实力。但我们都清楚，在现实生活中，这样理想的前提条件很难满足，难免会因为信息不对等而产生其他的结果。若甲选择隐藏自己的实力，营造一个枪法最差的假象，那么此时甲的存活概率就会大大提升。
第二轮：
第一轮过后，若甲乙中有一方打偏，那么丙既有可能面对甲也有可能面对乙，若都打偏，那丙将同时面对甲乙两人，或者甲乙皆死。
如果丙只面对甲或乙，那丙的存活率最低。
如果同时面对甲乙两人，则返回第一轮的场景。
如果甲乙皆死，那么无疑丙最终存活。
第二种情况：
由丙先开第一枪，那么可能如下：
丙射中甲：乙与丙对决，且只能由乙先开枪，丙会处于不利位置。
丙射中乙：同上，甲的命中率最高，丙的处境会更糟。
丙都未射中的话：甲乙都不会选择先射击丙，而是会在甲乙双方之间一决胜负，直至其中一人死亡，而这时就会又轮到丙。可以这样说，只要丙谁都不打中，在接下来的对决中他就处于相对而言最有利的位置。
警察与小偷博弈
在某个小镇上只有一名警察，整个小镇的治安全部由他负责。此时，我们假设这个小镇上的一头有一家银行，而小镇的另一头有一个酒馆；若这个小镇上只有一名小偷，那么由于他不具备分身术，所以当这个小镇上的警察在小镇的一头巡视时，小偷只能去小镇的另一头采取他的偷盗行动。
假想一下，当小镇的警察正好在小偷采取行动的地方巡视，便能不费吹灰之力地抓住小偷；若是小镇的警察的巡视方向恰好与小偷采取偷盗行为的方向相反，那么小偷便能在不被警察抓到的情况下成功偷盗。
此时，我们设定此小镇上的银行中需要保护财产的金额为2万元，而小镇的酒馆中需要保护的金额只有1万元。那么，警察应该如何采取巡视行动，才能将小镇的损失降低到最小呢？
警察最好的做法是利用抽签的方式决定去小镇的银行还是酒店。由于小镇银行中所需保护的财产是酒馆的两倍，因此用1、2号两个签表示小镇的银行，用3号签表示酒馆，这样一来，警察去银行巡视的机会将达到2/3，而去酒馆巡视的机会将是1/3。
在小镇警察的此种策略下，小偷的占优策略则要与警察相反，同样采用抽签的方式，与警察不同的是小偷用1、2号签表示去酒馆行动，而用3号签表示去银行，由此一来，小偷去酒馆行动的概率是2/3，而去银行的概率仅有1/3。
在此前提下，即警察和小偷都是选择最佳占优策略时，我们将会获得一个十分有趣的结果，即警察和小偷成功的概率是相等的。（此处略去计算过程）
事实上，警察与小偷的博弈需要有双方一种混合型的策略和思路。简单来说，警察和小偷博弈与我们生活中经常玩的“剪刀、石头、布”游戏更加相似。在这种游戏中，并不存在纳什均衡，因为参与此游戏的每个人出“剪刀”“石头”“布”的情况都是随机的，而且游戏的参与者不会让对方推断出自己的策略，甚至自己在此游戏中的策略倾向性。因为，当对方了解到自己的策略倾向时，自己便会面临极大的输掉游戏的风险。
其实，透过警察与小偷博弈中的混合策略均衡，可以看出博弈中的每个参与者并不会太过在意自己所做出的决策。实际上，当我们需要采取混合策略时，便要找到自己所要做出的策略方法，并且要让对手觉得你所做出的策略不会影响到他们。
这种方式似乎非常混沌，但它是前面所讲到的零和博弈的另一种随机转换。因为它要求参与者必须时刻保持警惕，稍微发现对方有违反规则的行动，便需要立刻采取决策并实施行动。若是对方的确做出了某种较为糟糕的行动，那便说明他们选择了最“愚蠢”的策略。
在警察和小偷的博弈中，不论是选择了混合还是随机的策略，都不代表参与者在做出行动时是盲目选择。这其中仍然包含着很强的策略性，博弈取胜的要点在于运用其中的偶然性，针对对方是否发现你的某些策略性行为做出及时应对，进而保证自己成功的概率。
海盗分金
有五个海盗（记为1、2、3、4、5号）掠得一百枚金币，决定以抽签的方式依次提出分金方案，并由五人共同表决。要想通过方案，必须有超半数的人同意才可以，否则这个人将会被扔进大海。这其实是一个博弈的过程，在分金的过程中，要想不被扔入大海，必须充分考虑其他人的利益，从而以最小的代价获取最大的收益。假设五个海盗都聪明绝顶并有足够理智的判断力，那么该如何进行博弈过程呢？
与其从前往后一个一个地想每个人会怎样选择，不如先把问题简单化，若只剩下最后两人的话，他们会怎么做呢？倒推来看，若1、2、3号都被投入海中，那么5号必定反对4号把一百枚金币全部收入囊中。因此往前推理，4号只有同意3号的方案才有可能保命。
3号猜到这一点，就会采取（100、0、0）的分金方案，因为他清楚地知道即便4号一枚金币也分不到，也仍然会同意他的方案。
2号猜到3号的策略，就会采取（98、0、1、1）的方案，因为2号只要稍微照顾到4、5号的利益，4、5号就会向他投赞成票，而不希望2号出局让3号分配。因此2号最终会获得98枚金币。
1号同样猜到2号的意图，就会采取（97、0、1、2、0）或者（97、0、1、0、2）的方案。对于1号来说，只要放弃2号，再分给3号一枚金币，给4号或5号两枚金币，这样他就可以得到三票，顺利通过方案拿到97枚金币。
当然，以上的分析是建立在一个理想状态上的，即海盗都很聪明并且可以理智分析。而在现实生活中，情况就和模型相去甚远了。
首先，假设3号、4号或者5号有一人没能猜到其他海盗的方案，那么1号被投入海中的概率则大得多了。或者只要1号提出方案，2号就许诺分配给其他人的金币比1号多一枚，这样一来，2号就成了最大赢家。
这是在规则确定的情况下，但只要剩下的四人确定一个分配的新规则，将把握先机的1号先干掉，而后平分一百枚金币，所得的利益会较之前更多。因此，在现实生活中，规则意识的重要性就显得尤为突出了。
如果我们扩大参加博弈的局中人数，同样是一百枚金币，由十个人来分配（记为1、2、3，……，10号），有50%以上的同意票才可通过方案，否则将被投入海中。
推理过程同上，倒推如果只剩下9号和10号，那么无论两人提出什么样的方案，按照规则都将被通过。现在把8号考虑进来，8号知道最后剩下两人的结果，那他会选择让步，只要拿出一枚金币来团结10号，他的方案就会通过，因为8号知道，只剩9号和10号时，10号会一无所得，因此10号是他理想的团结对象。因此，8号的方案就是（99、0、1）。再把7号考虑进来，既然关键在于50%，那么他只要再拉一人同意即可。那么此时，9号就成了他的最佳团结人选，7号清楚地知道，如果让接下来的8号分配，那么9号一枚金币也拿不到。因此7号笃定9号会支持他。以此类推，6号也会进行同样的推理，他会给在7号方案中得不到金币的8号和10号各一枚金币，来取得他们的同意票。由此，6号的方案就成了（98、0、1、0、1）。
综上，推理到1号时，他的方案会是（96、0、1、0、1、0、1、0、1、0）。
原本最有可能出局的1号却可以抢占先机获得最多的金币，而10号相比最安全，却也只是能刚刚保住性命罢了。
我们再改变一下规则，前提不变，即所有的海盗都无比聪明并且可以保持理性。条件不变，五人分金，共一百枚金币，且同意的人数不少于一半时方案才可通过。
海盗们通过抽签确定自己的号码，推理方法同上。
首先，只剩下4号和5号时，4号的方案就已经成为最终方案，因为无论5号同意与否，方案都可以被通过。此时4号的方案必定是（100、0）。
而5号因为在4号的方案中一枚金币也得不到，所以，只要在4号之前的人分给他的金币大于0，5号就会投出同意票。
对于4号来说，如果3号使5号获益，那么4号就会一无所得，因此他会让2号的方案通过，只要2号许诺给他大于0的收益。
到了3号这里，如果2号给4号一枚金币，那么2号的方案就会顺利通过，3号也就没有任何收益了。因此，3号会考虑到1号的方案，只要1号的方案里有3号大于0的收益，那么1号的方案就会通过，自己也不至于落得连一枚金币也拿不到的境地。
那么2号呢？因为只要有50%的同意票，他的方案就会通过，所以他的方案会是（99、0、1、0），以此来实现利益最大化，所以无论1号是什么方案他都不会投出同意票。
最后剩下1号，如他所想，2号的同意票是注定失去的，而他只给3号、5号各一枚金币就可以拿到两人的同意票，所以最终他的方案会是（98、0、1、0、1），获得自己的最大利益即98枚金币。